Ich würde die Informationen folgendermaßen in Gleichungen umsetzen (einige kleine Veränderungen gegenüber Deiner Vorgehensweise):
Der Graph geht durch (0|0), daher
f(0) = 0
Er hat in (0|0) einen Wendepunkt, daher
f''(0) = 0
Die x-Achse ist in (0|0) Wendetangente, daher
f'(0) = 0 (die x-Achse hat einen Anstieg von 0)
Der Graph geht durch (-1|3/4), daher
f(-1) = 3/4
Dort ist der Anstieg -2, daher
f'(-1) = -2
5 Gleichungen für ein Polynom 4. Grades reichen aus.
Besten Gruß