Differentialgleichung lösen : y'' = -4y

Question

Hallo,

ich komme bei dem Problem Aktuell nicht weiter. Die Aufgabe:

y'' = -4y

mit den Anfangsbedingungen  y(0) = 3,  y'(0) = 2

Ich dachte ich löse sie mithilfe der Charakteristischengleichung und hatte dann:

e^λx  (λ²+4)

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, kann mir jemand sagen was der nächste Schritt ist?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,,

teile durch e^(λx) ≠0

λ^2 +4=0

λ_1,2= ± 2i 

y=C₁ cos(2x) +C₂ sin(2x)

nach Tabelle:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

2.Seite; 1. Punkt; 3.Zeile

Zum Schluss setzt Du noch die AWB ein:

y=C₁ cos(2x) +C₂ sin(2x)

y' = .....

Answer 2

Hallo

 dass bei  sin und cos die zweite Ableitung das negative ist sollte man wissen, mit der char, Gleichung  lambda^2+4=0 hast du lambda=+-2i  und damit y=c1e^2ix+C2e^-2ix oder eben

 y=Acos(2x)+Bsin(2x), A,B aus den Anfangsbedingungen

Gruß lul

Answer 3

hat die Form y´´+4*y=0

Dgl der freien ungedämpften Schwingung

y´´+wo²*y=0

wo²=4

wo=2*pi/T*Wurzel(4)=2

2*pi/T=2

T=2/2*pi

T=pi ist die Periodendauer für eine Hin- und Herschwingung

allgemeine Lösung S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)

Bedingung S(0)=3   und S´(0)=2

S(0)=3=C1*sin(w*0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1  → C2=3

S(t)=C1*sin(w*t)+3*cos(w*t)

ableiten und y´=S´(0)=2    Hinwie S´(t)=V(t)  ist die Geschwindigkeit

Den Rest schaffst du wohl selber.