linksseitige Rechteckregel, numerische Integration

Question

Hallo liebe Leute,

Wir betrachten das Integral von 0 bis 1 2/(1+x²)dx.

Meine Aufgabe ist es, dass Integral näherungsweise zu bestimmen mithilfe der linksseitigen Rechteckregel.

In der Vorlesung ist der Begriff leider nicht gefallen und auch im Internet finde ich keine Beschreibung zu dieser Regel. Weiß jemand wie die Formel dazu aussieht bzw. wie das Verfahren funktioniert?

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Ich würde darunter die Näherung

$$\int_a^b f(x) ~\textrm{d}x \approx (b-a) \cdot f(a)$$

verstehen. Man wählt für die Höhe des Balkens den Funktionswert am linken Rand des Balkens:

Das Integral $\int_{-2}^1 \frac{1}{8}x^3 - 2x~\textrm{d}x \approx (1-(-2)) \cdot 3 = 9$

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f₁(x) = 1/8x³-2xf₂(x) = 3·(x>-2)·(x<1)

Für mehrere Teilintervalle $a = a_0 < a_1 < \dotsm < a_n = b$ also

$$\int_a^b f(x) ~\textrm{d}x \approx \sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i-1}) \cdot f(a_{i-1})$$

Am Beispiel oben für $a_0 = -2, a_1 = -1, a_2 = 0, a_3 = 1$

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f₁(x) = 1/8x³-2xf₂(x) = 3·(x>-2)·(x<-1)f₃(x) = 15/8·(x>-1)·(x<0)f₄(x) = 0·(x>0)·(x<1)f₅(x) =

Erhält man so

$$\int_{-2}^1 \frac{1}{8}x^3 - 2x~\textrm{d}x \approx (-1 - (-2))\cdot 3 + (0-(-1))\cdot\frac{15}{8} + (1-0)\cdot 0 = 4.875$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort EmNero :)

Ich habe mir das grade angeschaut und für f(a) müsste ich bei meinem Integral 0 als x-Wert einsetzen. Das würde aber nicht funktionieren oder übersehe ich etwas?

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Warum sollte das nicht funktionieren? Schick doch mal die komplette Aufgabe :)

Edit: Wer lesen kann ist klar im Vorteil ...... oO

$$\int_0^1 \frac{2}{1+x^2} ~\textrm{d}x \approx (1-0) \cdot \frac{2}{1+0^2} = 2$$

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$\int\limits_{0}^{1}$ $\frac{2}{1+x^2}$                   - das ist das gegebene Integral und dies soll näherungsweise bestimmt werden mithilfe der linksseitigen Rechteckregel. Mehr steht in der Aufgabe leider nicht.

Edit: Ja genau das meine ich - darf ich die Null im Nenner haben?

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Hab sie mittlerweile auch gefunden (siehe oben), sorry :D

Da steht doch keine 0 im Nenner? 1+0² = 1

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Okay, stand grade heftig auf dem Schlauch :D Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!