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Aufgabe:

 Sei K K ein Körper und seien F,G F, G teilerfremde Polynome in K[X]. K[X] . Zeigen Sie, dass es Polynome A,B A, B und R R in K[X] K[X] gibt mit grad(B)<grad(G) \operatorname{grad}(B)<\operatorname{grad}(G)
grad(A)<grad(F) \operatorname{grad}(A)<\operatorname{grad}(F)
und so dass für alle tK t \in K mit F(t)G(t)0 F(t) \cdot G(t) \neq 0 gilt:
1F(t)G(t)=A(t)F(t)+B(t)G(t)+R(t) \frac{1}{F(t) G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)
Bemerkung: Für ein Polynom P(X)=i=0naiXi P(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} ist P(t) : =i=0naiXi, P(t):=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}, d.h. P(t) P(t) ist das Bild von P P unter der Abbildung (6) im Skript (für λ=t \lambda=t ).

Problem:

Mir fehlt so ein bisschen die Idee...

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Vom Duplikat:

Titel: \frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)

Stichworte: größter,gemeinsamer,teiler

Hallo Community,

die Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme lautet:

"Sei K ein Körper und F,G teilerfremde Polynome in K[X]. Zeigen Sie, dass es Polynome A,B und R in K[X] gibt mit

grad (A) < grad (F) und grad (B) < grad (G) und sodass für alle t ∈ K mit F(t)*G(t) ≠ 0 gilt:

1F(t)G(t)=A(t)F(t)+B(t)G(t)+R(t)".\frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)".


Hat jemand vielleicht eine Idee?


LG

BM

1 Antwort

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Bringe doch mal die rechte Seite auf einen Nenner:

1FG=AG+BF+RFGFG \frac{1}{FG} = \frac{AG + BF + RFG}{FG}

Also muss ja irgendwie AG+BF+RFG=1 AG+BF+RFG = 1 gelten.  Jetzt kann man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus eine Darstellung

ggT(G,F)=1=A~G+B~F\operatorname{ggT}(G,F) = 1 = \tilde A G + \tilde B F

mit Polynomen A~,B~ \tilde A, \tilde B finden.

Jetzt könnte man meinen, dass man mit R:=0 fertig ist, aber was passt noch nicht?

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