Zeigen, dass es Polynome A, B und R gibt, so dass ...

Question

Aufgabe:

 Sei \( K \) ein Körper und seien \( F, G \) teilerfremde Polynome in \( K[X] . \) Zeigen Sie, dass es Polynome \( A, B \) und \( R \) in \( K[X] \) gibt mit \( \operatorname{grad}(B)<\operatorname{grad}(G) \)
$$ \operatorname{grad}(A)<\operatorname{grad}(F) $$
und so dass für alle \( t \in K \) mit \( F(t) \cdot G(t) \neq 0 \) gilt:
$$ \frac{1}{F(t) G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t) $$
Bemerkung: Für ein Polynom \( P(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \) ist \( P(t):=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}, \) d.h. \( P(t) \) ist das Bild von \( P \) unter der Abbildung (6) im Skript (für \( \lambda=t \) ).

Problem:

Mir fehlt so ein bisschen die Idee...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: \frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)

Stichworte: größter,gemeinsamer,teiler

Hallo Community,

die Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme lautet:

"Sei K ein Körper und F,G teilerfremde Polynome in K[X]. Zeigen Sie, dass es Polynome A,B und R in K[X] gibt mit

grad (A) < grad (F) und grad (B) < grad (G) und sodass für alle t ∈ K mit F(t)*G(t) ≠ 0 gilt:

$$\frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)".$$

Hat jemand vielleicht eine Idee?

LG

BM

Answer 1

Bringe doch mal die rechte Seite auf einen Nenner:

$$ \frac{1}{FG} = \frac{AG + BF + RFG}{FG} $$

Also muss ja irgendwie \( AG+BF+RFG = 1 \) gelten.  Jetzt kann man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus eine Darstellung

$$\operatorname{ggT}(G,F) = 1 = \tilde A G + \tilde B F $$

mit Polynomen \( \tilde A, \tilde B \) finden.

Jetzt könnte man meinen, dass man mit R:=0 fertig ist, aber was passt noch nicht?