Zeigen, dass es Polynome A, B und R gibt, so dass ...

Question

Aufgabe:

 Sei $K$ ein Körper und seien $F, G$ teilerfremde Polynome in $K[X] .$ Zeigen Sie, dass es Polynome $A, B$ und $R$ in $K[X]$ gibt mit $\operatorname{grad}(B)<\operatorname{grad}(G)$
$$\operatorname{grad}(A)<\operatorname{grad}(F)$$
und so dass für alle $t \in K$ mit $F(t) \cdot G(t) \neq 0$ gilt:
$$\frac{1}{F(t) G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)$$
Bemerkung: Für ein Polynom $P(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}$ ist $P(t):=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i},$ d.h. $P(t)$ ist das Bild von $P$ unter der Abbildung (6) im Skript (für $\lambda=t$ ).

Problem:

Mir fehlt so ein bisschen die Idee...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: \frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)

Stichworte: größter,gemeinsamer,teiler

Hallo Community,

die Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme lautet:

"Sei K ein Körper und F,G teilerfremde Polynome in K[X]. Zeigen Sie, dass es Polynome A,B und R in K[X] gibt mit

grad (A) < grad (F) und grad (B) < grad (G) und sodass für alle t ∈ K mit F(t)*G(t) ≠ 0 gilt:

$$\frac{1}{F(t)*G(t)}=\frac{A(t)}{F(t)}+\frac{B(t)}{G(t)}+R(t)".$$

Hat jemand vielleicht eine Idee?

LG

BM

Answer 1

Bringe doch mal die rechte Seite auf einen Nenner:

$$\frac{1}{FG} = \frac{AG + BF + RFG}{FG}$$

Also muss ja irgendwie $AG+BF+RFG = 1$ gelten.  Jetzt kann man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus eine Darstellung

$$\operatorname{ggT}(G,F) = 1 = \tilde A G + \tilde B F$$

mit Polynomen $\tilde A, \tilde B$ finden.

Jetzt könnte man meinen, dass man mit R:=0 fertig ist, aber was passt noch nicht?