Winkel zwischen Vektoren

Question

Wenn man den Winkel zwischen zwei Ebenen oder zwischen zwei Geraden berechnet, dann muss man im Zähler den Betrag ziehen. Wenn man aber den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, dann braucht man den Betrag nicht. Wieso ist das so?

Answer 1

Aloha :)$$\vec a\cdot\vec b=a\cdot b\,\cos\angle(\vec a;\vec b)\quad\Rightarrow\quad\cos\angle(\vec a;\vec b)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{a\cdot b}$$Es ist Konvention, immer den kleinstmöglichen Winkel als Schnittwinkel zwischen Vektoren anzugegeben. Das kannst du erreichen, indem du den Betrag im Zähler nimmst oder aber am Ende den Winkel in den Bereich von \(0^o\) bis \(90^o\) transformierst.

Answer 2

weil Vektoren gerichtet sind und geraden und Ebenen ungerichtet. Wenn sich zwei Geraden oder zwei Ebenen scheiden erhält man meist 2 verschiedene Schnittwinkel. Man gibt hier aber per Definition immer den kleineren der beiden Winkel an. Deswegen nimmst du den Betrag.

Answer 3

Winkel zwischen 2 Vektoren

(a)=arccos(Betrag(a*b/((a)*(b))  andere Schreibweise accos(a)=cos^(-1)(a)

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

(a)=Betrag Wurzel(ax²+ay²+az²)

(b)=Betrag Wurzel(bx²+by²+bz²)

2 sich schneidenen Geraden  (die nicht senkrecht aufeinander stehen) bilden 2 Winkel.Einer der beiden Winkel ist (a)<90°