Question

Formel für Winkel zwischen Vektoren?

Ist die unten stehende Formel so richtig oder muss vom Zähler noch der Betrag genommen werden?

\( \cos \varphi=\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|} \)

In unserer Formelsammlung steht die Formel nämlich so:

\( \cos \varphi=\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|} \)

In einer Abiturklausur, die ich vorhin gerechnet habe, wurde dann aber in der Formel zur Winkelberechnung wieder ohne Betragsstriche gerechnet:

Text erkannt:

\( \overrightarrow{W A^{\prime}}=\left(\begin{array}{c}-40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right), \overrightarrow{W B^{\prime}}=\left(\begin{array}{c}40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right) \)
\( \cos (\alpha)=\frac{\left(\begin{array}{c}-40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}-40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right)\right| \cdot\left(\begin{array}{c}40 \\ -11 \\ 20\end{array}\right) \mid}=\frac{-1079}{2121} \Rightarrow \alpha \approx 121^{\circ} \)

Weiß jemand, was denn nun richtig ist und wieso es beide Varianten gibt? Oder verstehe ich etwas an einer der Formeln falsch?

Answer 1

Hallo,

die Formel ohne Betragsstriche im Zähler ist die bessere.

Der Unterschied zwischen beiden Formeln tritt natürlich nur dann zu Tage, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) kleiner als 0 ist. In diesem Fall ist der Winkel dann größer als 90°. Das wäre für zwei Vektoren völlig korrekt.

Nur wenn der Winkel zwischen zwei Geraden berechnen werden soll, dann spielt das Vorzeichen des Richtungsvektor der Gerade keine Rolle und nimmt man den 'keineren' Winkel, der ja auch der Nebenwinkel des ersteren ist.

Mache dir das an Hand einer Skizze klar!

rechts schneiden sich zwei Geraden. Wenn nach dem Winkel gefragt ist, dann wird i.A. der kleinere (rot) von beiden angegeben. Bei Vektoren, die ja eine Richtung haben, ist aber der Winkel eindeutig. Also hier muss das Vorzeichen berücksichtigt werden.

Gruß Werner

Comments

Ahh, stimmt :D

Steht auch in der Formelsammlung, dass das für Gerade - Gerade ist, hatte ich nicht drauf geachtet, weil die sonst so ähnlich war.

Answer 2

Im Zähler steht der Betrag, wenn es sich um Geraden oder Ebenen handelt zwischen denen der Winkel berechnet werden soll. Bei Vektoren steht im Zähler nicht der Betrag.

Answer 3

Ein Winkel zwischen zwei Vektoren ist genau genommen ein Winkel zwischen zwei Richtungen Das sind dann zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen. Für cos(α) = \( \frac{-1069}{2121} \) und cos(β) =| \( \frac{-1069}{2121} \)| gilt α+β=180°.