Offene menge bzgl. Norm

Question

Hi dudes,

Ich muss zeigen dass "Menge A ist offen bzgl. ||•||₁  "→" A ist offen bzgl. ||•||₂"

wobei ||f||₁=\( \int\limits_{b}^{a} \) |f(x)|dx

Und ||f||₂=sup|f(x)|

A ist hier Teilmenge von C_[a,b] = Raum der stetigen auf [a,b] definierten Funktionen.

♠Mein Ansatz: ich nehme einen inneren punkt von A bzgl. ||•||₁  und zeige er ist ein innerer punkt bzgl.||•||₂   .Sei f so ein Punkt. Dann gibt es ein ε>0 so dass Umgebung Uε(f) ganz in A liegt. Also ||g-f||₁<ε → g ist in A.

Wir wissen aber wegen Abschätzung durch Supremum dass dann ||g-f||₁≤||g-f||₂ . Ich wollte ein δ finden so dass gilt ||g-f||₁≤||g-f||₂ < δ < ε .dann würde gelten U_δε (f) ist auch ganz in A

Ich komme allerdings leder nicht auf so ein  δ. Jede hilfe wäre unschätzbar)

Comments

Hallo,

zunächst ist Deine Abschätzung für die Normen insofern falsch, als das Intervalle [a,b] nicht berücksichtigt ist.

Im übrigen zeigt doch Deine Beweisidee, dass eher die umgekehrte Aussage gilt. Vielleicht solltest Du mal die Aufgabenstellung checken.

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Hallo,

vergiss meine letzte Bemerkung. Es ist einfach so, wie Du angesetzt hattest für a=0,b=1

$$U(f,\epsilon,2) \subset U(f,\epsilon,1)$$

Dabei sind die Umgebungen bezüglich der verschiedenen Normen entsprechend indiziert.

Jetzt musst Du das noch auf die Abschätzung für belibiges a,b umsetzen.

Gruß

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Oh, ich glaube ich versteh nicht so wirklich wie du das meinst

Answer 1

Hallo,

Du hast es doch eigentlich selbst gesagt. Also zur Schreibweise: Mit \(U(f,\epsilon,i)\) bezeichne ist die Kugelumgebung von f bezüglich der Norm 1 oder 2, also

$$U(f,\epsilon,i):=\{g| \|f-g\|_i< \epsilon\}$$

Wenn die Ungleichung \(\|h\|_1 \leq \|h\|_2\) für alle h gilt, dann heißt das \(U(f,\epsilon,2) \subset U(f,\epsilon,1)\).

Sei jetzt A offen in der 1-Topologie und sei \(f \in A\). Dann existiert \(\epsilon\), so dass \(U(f,\epsilon,1)\subset A\), damit gilt aber auch

$$U(f,\epsilon,2)\subset U(f,\epsilon,1)\subset A$$

Also ist f auch innerer Punkt von A bezüglich der 2-Topologie.

Wie gesagt, die Ungleichung zwischen den 2 Normen gilt nicht für beliebige a,b - das musst Du jetzt klären und den Beweis entsprechend modifizieren.

Gruß

Comments

||f-g||₁≤||f-g||₂ gilt natürlich nur auf [0,1]

Die eigentliche Abschätzung ist ja

 ||f-g||₁≤||f-g||₂*(b-a)

Man könnte dann alle g aus C_[a,b] betrachten mit

||f-g||₂<ε/(b-a) (ε aus U(f,ε,1). Dann würde gelten

|f-g||₁/(b-a) ≤||f-g||₂<ε Also  U(f,ε,2)⊂ U(f,ε,1)⊂A

Aber sobald (b-a)<1 ist, stürzt alles ein. Und selbst wenn ich beweisen könnte dass (b-a)≥1 immer gilt, kann ich doch nicht einfach annehmen dass solche g∈C_[a,b]  mit ||f-g||₂<ε/(b-a) überhaupt existieren. Ich habe so ein Gefühl ich missverstehe hier was grundlegendes, bin aber auch ziemlich blöd)

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Naja,

dann benutzt Du halt:

$$U(f,\frac{\epsilon}{b-a},2) \subset U(f,\epsilon,1) \subset A$$

Gruß

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Das war auch sozusagen meine idee, aber wenn b-a<1 ist dann auch ε/ (b-a)> ε . Also U(f,ε/ (b-a),2)⊄U(f,ε,1). Hier sitz ich fest