Umkehrfunktion bilden für Funktion mit Logarithmus

Question

Hi, ich steh vor einer neuen Herausforderung:

f(x) = $\sqrt{3π}$ * log₂ (4+($\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}$)³)                         :$\sqrt{3π}$

Als erstes hätte ich mal die $\sqrt{3π}$ auf die linke Seite der Gleichung gebracht. Also:

$\frac{y}{\sqrt{3π} }$ = log₂ (4+($\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}$)³)

Bei einer mir vorliegenden Lösung vom Prof wurde dann als nächstes der Log₂ in den natürlichen Logarithmus (ln) umgerechnet:

$\frac{y}{\sqrt{3π} }$ = $\frac{ln(4+( \sqrt{1-\frac{4}{2x-1}} )^3)}{ln(10)}$

Warum wird beim ln mit 10 gerechnet? Und außerdem dachte ich man nutz den natürlichen Logarithmus nur bei der e-Funktion? Genau an dieser Umformung hängts bei mir...

Nach dieser Umformung zieht er dann den ln(10) wieder aus dem Nenner:

ln(10) * $\frac{y}{\sqrt{3π} }$ = 4+($\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}$)³)

Ich bin wirklich verzeifelt, ich verstehe nicht warum das gemacht wird...

Answer 1

Aloha :)$$\left.y=\sqrt{3\pi}\cdot\log_2\left(4+\left(\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}\right)^3\right)\quad\right|\;:\sqrt{3\pi}$$$$\left.\frac{y}{\sqrt{3\pi}}=\log_2\left(4+\left(\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}\right)^3\right)\quad\right|\;2^{\cdots}$$$$\left.2^{y/\sqrt{3\pi}}=4+\left(\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}\right)^3\quad\right|\;-4$$$$\left.2^{y/\sqrt{3\pi}}-4=\left(\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}\right)^3\quad\right|\;\sqrt[3]{\cdots}$$$$\left.\sqrt[3]{2^{y/\sqrt{3\pi}}-4}=\sqrt{1-\frac{4}{2x-1}}\quad\right|\;(\cdots)^2$$$$\left.\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}=1-\frac{4}{2x-1}\quad\right|\;-1$$$$\left.\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}-1=-\frac{4}{2x-1}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.1-\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}=\frac{4}{2x-1}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1}{1-\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}}=\frac{2x-1}{4}\quad\right|\;\cdot4$$$$\left.\frac{4}{1-\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}}=2x-1\quad\right|\;+1$$$$\left.1+\frac{4}{1-\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}}=2x\quad\right|\;:2$$$$\left.x=\frac{1}{2}+\frac{2}{1-\left(2^{y/\sqrt{3\pi}}-4\right)^{2/3}}\quad\right.$$

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