N'te Partialsumme der Harmonischen Reihe mit Integralkriterium abschätzen

Question

ich komme gerade bei der Abschätzung der n'ten Harmonischen Zahl mit dem Integralkriterium nicht weiter.

$${\displaystyle \int_{1}^{n+1}} \dfrac{1}{x}dx \leq \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \leq  {\displaystyle \int_{0}^{n}} \dfrac{1}{x}dx = [ln(x)]_{1}^{n+1}=l(n+1)-ln(1)=l(n+1) \leq \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \leq [ln(x)]_{0}^{n} = ln(n) - ln(0)$$

ln(0) ist ja nicht definiert. Man könnte den Limes berechnen und ln(0+) strebt gegen $$-\infty$$ Wie könnte ich weitermachen oder wo liegt mein Fehler?

Und zusätzlich: welche Möglichkeit gibt es noch für eine Abschätzung?

Answer 1

Es geht wohl besser ohne den ersten Summanden

$$ \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i} \leq  {\displaystyle \int_{1}^{n}} \dfrac{1}{x}dx = [ln(x)]_{1}^{n}=l(n)-ln(1)=l(n)$$

Also mit dem ersten Summanden wieder dabei wäre eine obere Schranke für die

n-te Partialsumme 1+ln(n) .

Comments

Vielen Danke für die Antwort. Hat mir weitergeholfen! Wie könnte ich die Summe denn noch abschätzen ohne das Integralkriterium zu benutzen?

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Ich habe da keine weitere Idee.