Untersuchen Sie die Zahlenfolge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz: an= (n^2 +1) / (n^2 +2n+2 )

Question

a_n = ( n² +1 )  / ( n² +2n + 2 )

Answer 1

a_n = ( n² +1 )  / ( n² +2n + 2 ) = (n^2 + 2n +2 -2n -1) / (n^2 + 2n + 2)

=  (n^2 + 2n +2) / (n^2 + 2n + 2) +  ( -2n -1) / (n^2 + 2n + 2)

= 1 + (-1-2n) / (n^2 + 2n + 2)

= 1 + (-1/n - 2) / (n + 2 + 2/n) 

Grenzwert ist 1.

+ 1 ist auch eine obere Schranke der Folge, da der Bruchterm immer - / + also neg. ist.

Ob die Folge monoton ist, kannst du untersuchen, wenn du das Vorzeichen von 

a_n  - a_n-1 bestimmst.

Hier mal die beiden Terme

a_n = ( n² +1 )  / ( n² +2n + 2 ) = 1 + (-1-2n) / (n^2 + 2n + 2)= 1 + (-1-2n) / ((n+1)^2 + 1)

a_n-1 = 1 + (-1-2(n-1)) / (n^2 + 1) = 1 + (1-2n) / (n^2 + 1)

Nun deren Differenz untersuchen. Kannst du bestimmt selbst.