Orthonormalbasis von Eigenvektoren

Question

seien $v_1,...,v_q$ eine Orthonormalbasis von Eigevektoren und mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda_1,..., \lambda_q$. Dann gilt für passende $\alpha_i$, dass $x=\sum_{i=1}^q \alpha_i v_i$, wobei $\|x\| =1$. Weiter ist mit einer symmetrischen Matrix $A$

$\langle Ax,x \rangle = x^TAx =\sum_{i,j} \overline{\alpha_i}(v_i)^T A \alpha_j v_j = \sum_{i,j} \overline{\alpha_i} \alpha_j(v_i)^T \lambda_j v_j \stackrel{?}{=} \sum_{i=1}^q |\alpha_i|^2 \lambda_i \stackrel{?}{\leq} \max_{i \in \{1,...,q\}} \lambda_i \sum_{i=1}^q |\alpha_i|^2 = \max_{i \in \{1,...,q\}} \lambda_i$

die vorletzten beiden Schritte verstehe ich leider nicht, hauptsächlich des erste "?" über dem "=".

Kann es mir jemand erklären?

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Das erste Fragezeichen löst sich auf, weil die Vektoren $\vec v_i$ orthonormal zueinander stehen:$${\vec v_i}^T\cdot\vec v_k=\left\{\begin{array}{l}1 &;& i=k\\0 & ; &i\ne k\end{array}\right.$$Beim zweiten Fragezeichen werden einfach alle $\lambda_i$ durch das größte von ihnen ersetzt:$$\lambda_i\le\max_{i\in\{1,\dots,q\}}(\lambda _i)$$Dieses ist dann konstant und kann vor die Summe gezogen werden:$$\sum\limits_{i=1}^q|a_i|^2\cdot\lambda_i\le\max_{i\in\{1,\dots,q\}}(\lambda _i)\sum\limits_{i=1}^q|a_i|^2$$Da nach Voraussetzung $\|x\|=1$ ist und die Basisvektoren orthonormal sind, gilt noch: $$\sum_{i=1}^q|a_i|^2=1$$sodass der maximale Eigenwert am Ende übrig bleibt.