maximalen Integralwert ausfindig machen

Question

Hallo liebe Leute,

die Frage, mit der ich mich beschäftige, lautet:

Bestimmen Sie die Zahlen a und b mit a ≤ b so, dass das Integral \( \int\limits_{a}^{b} \) 6-x-x² den maximalen Wert annimmt.

Ansatz:

Ich hatte mir überlegt, dass Integral zu berechnen, a und b einzusetzen und dann abzuleiten, um den Maximum der Fläche zu bekommen. Das Problem hierbei ist es aber, dass ich die Funktion nicht ableiten kann, weil ich zwei unbekannte Variablen habe und keine Idee habe wie ich einer der Variablen mit der anderen ersetzen kann.

Answer 1

Die Funktion hat 2 Nullstellen bei -3 und bei 2. Dazwischen ist sie positiv und

außerhalb davon negativ. Damit das Integral einen möglichst großen Wert bekommt,

muss es von -3 bis 2 genommen werden.

Answer 2

Aloha :)$$I=\int\limits_a^b(6-x-x^2)dx=\int\limits_a^b-(x^2+x-6)dx=\int\limits_a^b-(x+3)(x-2)dx$$Durch das Minuszeichen unter dem Integral, liefern alle Terme negativen Terme \((x+3)(x-2)\) einen positiven Beitrag zum Integal, erhöhen es also. Alle positiven Terme \((x+3)(x-2)\) liefern negative Beiträge zum Integral, verringern es also. Wir betrachten 3 Fälle:

1. Fall: \(x\le-3\quad\Rightarrow\quad\underbrace{(x+3)}_{\le0}\cdot\underbrace{(x-2)}_{<0}\ge0\)

2. Fall: \(-3<x<2\quad\Rightarrow\quad\underbrace{(x+3)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-2)}_{<0}<0\)

3. Fall: \(x\ge2\quad\Rightarrow\quad\underbrace{(x+3)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-2)}_{\ge0}\ge0\)

Damit ist:$$I_{\mathrm{max}}=\int\limits_{-3}^2(6-x-x^2)dx=\frac{125}{6}$$