Geometrische Reihe als Summenformel

Question

Aufgabe: Berechnen Sie!

\( \sum \limits_{j=10}^{110} j^{2}-\sum \limits_{i=11}^{111}(i+1)(i-1) \)

Hallo, ich bin mir sehr unsicher bei der Berechnung dieser Aufgabe. Ich verstehe das es eine Geometrische Reihe ist und das der Zweite Teil wohl auch als Binomische Formel geschrieben werden kann.

Aber wie wende ich hier die Geometrische Formel an wenn die Basis quasi "J" ist und ²?

Danke für die Hilfe :)

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Hier ist keine geometrische Reihe.

Answer 1

Aber wie wende ich hier die Geometrische Formel an wenn die Basis quasi "J" ist und ²?

Eins nach dem anderen.

und das der Zweite Teil wohl auch als Binomische Formel geschrieben werden kann.

Dann tue das auch mal und zerlege die Summe in die Differenz aus (Summe von Quadraten) und (Summe der entstandenen Konstanten).

Von der Summe vor dem Minusszeichen kannst du dann etliche Quadratzahlen wegnehmen...

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\( \sum \limits_{j=10}^{110} j^{2}-\sum \limits_{i=11}^{111}i² \) - \( \sum \limits_{j=11}^{111} 1\)

\( \sum \limits_{j=10}^{110} j^{2}\)

Edit: hups habe die "-1" auferstehen als MAL eins behandelt.

Aber an der stelle weiß ich dann mit den Quadratzahlen nicht weiter

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Ich sehe nicht, dass du an irgendeiner Stelle die (selbst erkannt und auch von mir nachdrückliche angeratene) Verwendung der binomischen Formel  tatsächlich vollzogen hättest.

Wie lässt sich (i-1)(i+1) schreiben?

Wie lässt sich dann \(\sum \limits_{i=11}^{111}(i+1)(i-1)\) schreiben?

Und: Nein, deine Umwandlung zum plus ist (hier) daneben.

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i²-1 ich habe es Editiert, habe ausversehen die neue Summe dann als Multiplikation genommen und ausgeklammert gehabt.

Aber Danke für die "Tollen" Ratschläge und Kommentare, ich habe zwar Schwierigkeiten in Mathe aber keine Sorge, ich habe nicht extra ne Stunde Telefoniert oder Online-Rechner für die Anwendung der Binomischen Formel verwendet und bin ganz alleine auf diesen Teil gekommen ;-)

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Du hättest um die letzen beiden Summen eine Klammer setzen müssen.

\(\sum \limits_{j=10}^{110} j^{2}-(\sum \limits_{i=11}^{111}i²-\sum \limits_{i=11}^{111}1)\).

Dann wird daraus

$$\sum \limits_{j=10}^{110} j^{2}-\sum \limits_{i=11}^{111}i² + \sum \limits_{i=11}^{111} 1 $$

Die Quadratzahlen aus den beiden vorderen Summen heben sich durch die Subtraktion fast alle (mit jeweils einer Ausnahme) auf.

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OK danke! Ich bin jetzt auf -12120 bekommen, allerdings mit Taschenrechner. Gibt es eine Möglichkeit die beiden ersten Summen umzuschreiben? Habe die Aufgaben davor mit einer Indexverschiebung gemacht aber ich wüsste nicht wie es hier funktionieren soll?

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Das Ergebnis ist 10²-111²+101.

Warum Taschenrechner?

10²-111²=(10-111)(10+111)=-101*121=-100*121-1*121=-12100-121=-12221.

Dazu werden noch 101 addiert: -12221+101=-12120.

Kürzer:

-101*121+101*1=-100*121.