Question

Lineare Abbildung mit Sinus:

\( \begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto f(x)=\sin (x) \end{aligned} \)

Man soll schauen, ob dies eine lineare Abbildung ist.

Die Lösung:

\( f \) ist nicht linear, da: $$ f(x+y)=\sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y) \neq \sin (x)+\sin (y)=f(x+y) $$

Die Bedingung ( \( i \) ) der Definition einer linearen Abbildung ist somit nicht erfüllt.

Wie kommt man hier auf cos(y)? Unsere Ausgangslage is doch nur x. Woher habe ich y?

Answer 1

Hallo,

Unsere Ausgangslage is doch nur x. Woher habe ich y?

Im Vorfeld steht sicher irgendwo $$f(x) = \sin(x), \quad f(y) = \sin(y)$$und wenn \(x \mapsto \sin(x)\) eine lineare Abbildung wäre, dann müsste gelten $$\begin{aligned} f(x+y) &= f(x) + f(y) \\ \sin(x+y) &= \sin(x) + \sin(y) && ?\end{aligned}$$und dies gilt (natürlich) nicht. Da muss man auch kein Additionstheorem bemühen, da reicht ein Beispiel \(x=y= \pi/2\).

Comments

Es steht nur das, was ich auch im Post habe. Deswegen war ich verwirrt.

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Es steht nur das, was ich auch im Post habe.

Es ist aber sicher so gemeint. Das \(y\) ist einfach nur ein anderer Wert, der nicht notwendigerweise \(=x\) ist. Und der wird eben auch als Variable in die Funktion eingesetzt.

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Würde mir nicht genügen, wenn ich einfach wie folgt vorgehe:
f(d₁ * x₁) = sin(d₁x₁)
d₁ * f(x₁) = d₁*sin(x₁)
Also ist dies keine lin. Abbildung.

das würde genauso genügen. Und hier fragst Du ja auch nicht, wo plötzlich das \(d_1\)  her kommt.

Answer 2

Additionstheorem der Sinusfunktion:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

https://mathepedia.de/Additionstheoreme.html

Comments

Ich verstehe aber nicht wieso f(x+y)

Würde mir nicht genügen, wenn ich einfach wie folgt vorgehe:

f(d1 * x1) = sin(d1x1)

d1 * f(x1) = d1*sin(x1)

Also ist dies keine lin. Abbildung.

Answer 3

Aloha :)

Ich verstehe die Musterlösung auch nicht, so viel Aufwand ist überhaupt nicht nötig. Es reicht, ein einziges Beispiel zu finden, wo die Linearität nicht gilt:$$0=\sin(\pi)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\stackrel{?}{=}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+1=2$$Da \(0\ne2\) hat sich die Linearität erledigt.