Ungleichung beweisen: (2xy)/(x+y) <= (x+y)/2

Question

ich soll die folgende Ungleichung beweisen, wobei gilt 0 < x ≤ y:

\( \frac{2xy}{x+y} \)  ≤ \( \frac{x+y}{2} \)

Muss ich jetzt 0 < x ≤ y einfach umwandeln bis die Umgleichung  rauskommt? Wie würde ich das machen?

Answer 1

0≤(x-y)²

0≤x²-2xy+y²  |+4xy

4xy≤x²+2xy+y²

4xy≤(x+y)²   |:2 

2xy≤\( \frac{(x+y)^2}{2} \) |:(x+y) 

\( \frac{2xy}{x+y} \) ≤\( \frac{x+y}{2} \) .