Lineare Algebra: Körper und Ringe. a) Zeige, dass in einem Körper gilt: x^2=1⇔(x=1 oder X=-1). b)…

Question

a) Zeigen SIe, dass in einem Körper gilt: x²=1⇔(x=1 oder X=-1)

b) Bestimmen Sie im Ring Z₈ alle Elemente x mit x²=[1]₈.

 

Wie soll ich a zeigen?

Soll ich bei b) die Verknüpfungstafeln erstellen? Ich versteh nicht so ganz was mit x²=[1]₈ gemeint ist...

 

Comments

x^2=[1]₈  bedeutet wohl x^2 = 1 modulo 8. Also die entsprechende Restklasse

Mit einer Verknüpfungstabelle siehst du, dass (1, 3, 5 und 7…) ^2 = 1 modulo 8.

Die Gleichung x^2 = 1 modulo 8 hat also mehr als 2 Lösungen.

Deshalb muss irgendwas in den Körperaxiomen, das für Ringe noch nicht gilt, dafür verantwortlich sein, dass x^2= 1 in Körpern immer genau die 2 Lösungen ±1 hat. Damit sollte der Beweis von a) ev. gelingen.

Answer 1

a) Zeigen SIe, dass in einem Körper gilt:

x²=1⇔(x=1 oder x=-1)

Ich verwende die Nummerierung der Körperaxiome gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)

1. ⇐

gemäss 2.3. gilt 1*1 = 1.           Also: 1^2 = 1

gemäss 2.3. gilt 1*0 = 0         und 0≠1

gemäss 1.4. existiert -1 so dass ((-1) + 1 ) = 0

0=((-1) + 1)(-1) = (-1)^2 + 1*(-1) =(-1)^2 + (-1)      wegen Rechtsdistributivität

(-1)^2 ist das additive Inverse von (-1)

Daher (-1)^2 =1

wzbw1.

2. ⇒   Beweis via Widerspruch.   geht bestimmt auch kürzer.

Annahme es gibt ein x mit x^2 = 1 und x≠1 und x≠ -1

So gilt x + 1 ≠ 0 und x + (-1) ≠ 0

(x + 1)*(x + (-1)) = x (x + (-1)) + (x + (-1)) = x^2 + x * (-1) + x*1  + (-1)     | Links- und Rechtsdistr.

= x^2 + x( (-1) + 1) + (-1)

= x^2 + x *0 + (-1)

=x^2 + (-1) = 0        |da x^2 = 1

Also 2 Elemente von K, die nicht 0 sind, werden miteinander multipliziert und es resultiert 0. Das dürfte ja nicht sein. Nur welches Axiom ist da verletzt?

Nachtrag

Ich habe bis jetzt a*b = 0 mit a≠0 und b≠0.

Gemäss 2.4. gibt es dazu die jeweiligen Inversen a^-1 und b^-1 so dass a * a^-1 = 1 und b * b^-1 = 1

a*b = 0 = 1-1           |*a^-1      |komm. und ass.

a^-1* a*b = a^-1 * (1+ (-1)) = a^-1 + (-- a^-1 ) = 0           |distr. u.a.

1*b = b= 0              |*b^-1 komm. und ass.

b*b^-1 = 1   = b^-1 * 0 = b^-1 (1+( -1)) = b^-1 + (- b^-1)= 0             |distr. u.a.

Also 1 = 0                  Widerspruch zu 3.2.  

q.e.d. x muss 1 oder -1 sein.

 

 

Comments

Hab da noch was ergänzt. Ginge aber bestimmt auch kürzer.

Answer 2

Zu a) Mit allgemeinsten ringaxiomen folgt ( - 1 ) ² = ( + 1 ) ² = 1

Begründung: " Minus Mal Minus gibt Plus "

In einem Körper hast du aber auch die Umkehrung. Denn die Nullstellen eines Polynoms ergeben sich als dessen Linearfaktoren; das Polynom

p = x ² - 1

kann nicht mehr als zwei wurzeln haben, da es quadratisch ist.