Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Person pro Auto

Question 1

A train consists of $ N $ cars; $ K(K>N) $ passengers get on it and select their cars at random (each car has the same probability that it is chosen by a passenger). Find the probability for the event (=Ereignis) $ A $ that there will be at least one passenger in each car. Provide the general formula of this probability and calculate this probability for the special case of $ N=4 $ and $ K=5 $

Hint: Regard the complement event $ \bar{A} $ and use the Poincaré-Sylvester formula.

Ich hab schon ein bisschen rum probiert, aber ich komme einfach nicht drauf, was die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

Question 2

$A$: mind. ein Passagier pro Waggon

$\overline{A}$: mind. ein Waggon ohne Passagier

$X_i$: Waggon $i$ ist leer, $i=1,\dots N$

$$P(\overline{A})=P(X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_N)=\sum_{i=1}^N\left((-1)^{i-1}\sum_{I\subseteq\{1,\dots ,N\}\\\quad|I|=i}P(X_I)\right)\\ =\sum_{i=1}^N(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\left(\frac{N-i}{N}\right)^K$$

Wobei $ X_I=\bigcap_{i\in I}X_i$ sein soll.

Für $N=4$ und $K=5$ ergibt sich bei mir $P(A)= \frac{15}{64}$

Trashcan · Answer 1 · 2020-05-29T17:41:28+0000

$A$: mind. ein Passagier pro Waggon

$\overline{A}$: mind. ein Waggon ohne Passagier

$X_i$: Waggon $i$ ist leer, $i=1,\dots N$

$$P(\overline{A})=P(X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_N)=\sum_{i=1}^N\left((-1)^{i-1}\sum_{I\subseteq\{1,\dots ,N\}\\\quad|I|=i}P(X_I)\right)\\ =\sum_{i=1}^N(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\left(\frac{N-i}{N}\right)^K$$

Wobei $ X_I=\bigcap_{i\in I}X_i$ sein soll.

Für $N=4$ und $K=5$ ergibt sich bei mir $P(A)= \frac{15}{64}$

Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Person pro Auto

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