Quadratische Kongruenz x²-2x+4≡0 (mod 9)

Question

Ich habe erst quadratisch ergänzt, also

x^2-2x+4≡(x-1)^2+3≡0 (mod 9) ⇔ (x-1)^2=6 (mod 9)

Gibt es einen vornehmeren Weg zu zeigen, dass dies keine Lösungen hat? Eine Methode ist ja jeweils einen Repräsentanten einer Restklasse aus \(\mathbb{Z}\backslash 9\mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, ...., \overline{8}\}\) einzusetzen und zu schlussfolgern, dass es eben nicht kongruent 6 mod 9 ist?

Answer 1

Lieber r_c,

das ist eine wirklich exzellente Frage, die sich einige geniale Köpfe bereits gestellt haben. Ich lenke dich einfach mal mit einem Link in die richtige Richtung, viel Spaß: https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity Gauss selbst nannte diesen Satz das "goldene Theorem" der Zahlentheorie.

LG hairbeRt

Comments

Spannend! Danke für den Link, das werde ich als Anhaltspunkt für meine Recherche nutzen.