Löse die Kongruenz: c ≡ 1 mod 2 und c ≡ −2 mod 9

Question

Aufgabe:

Finde die kleinste natürliche Lösung:

c ≡ 1 mod 2 und c ≡ −2 mod 9

Problem/Ansatz:

Ich habe mir bereits klar gemacht was das Kongruenzsystem in Gleichungen ausformuliert bedeuten würde:

(1): c = 2k₁ + 1 , k₁ ∈ ℤ

(2): c = 9k₂ - 2 , k₂ ∈ ℤ

Nur komme ich hier nicht weiter und stehe auf dem Schlauch wie ich nun eine Lösung finden kann. Ich könnte ja gleichsetzen um zu sehen ob es überhaupt eine Lösung gibt aber bringt mich das hier nicht weiter. Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Hallo

 1. alle ungeraden Zahlen sind 1 mod 2

2. -2mod 9= 9-2= 7mod 9 also hast du direkt die Lösung  mit dem kleinsten Repräsentanten,

dann natürlich alle weiteren Zahlen 7+2n*9   (2n damit das Resultat ungerade ist. aber nach denen ist i.A. nicht gefragt.

Gruß lul

Comments

Also wäre die kleinste natürliche Lösung also 7?

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Gibt es ein System wie ich solche Kongruenz-Aufgaben möglichst geschickt lösen kann oder ist der Lösungsansatz von Aufgabe zu Aufgabe individuell?

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Hallo

 1. meist hilft es mit positiven Repräsentanten zu rechnen. 2. benutze deine 2 Gleichungen um k1 und k2 zu bestimmen, also 9k2-2k1=-3 ; k1,k2 ganz

Das ist eine diophantische Gleichung, allgemein löst man sie, falls sie lösbar ist  mit dem umgekehrten Euklidischen Algorithmus, aber oft ,wie hier hier hilft scharfes hinsehen  schneller,

Gruß lul

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Super danke. Jetzt wurde es für mich viel klarer.