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g = ggT(a_1, ..., a_n) <=> { g * z | zeZ } = { a_1*z_1 + ... + a_n * z_n | z_1, ..., z_n eZ }
Hinweis: Für "=>"wählen Sie b eI := { a_1*z_1 + ... + a_n * z_n | z_1, ..., z_n eZ } minimal mit
0 < b eZ und dividieren Sie alle a eI durch b mit Rest.
Ich verstehe hier gar nicht, was meine Aufgabe ist bzw. was genau ich wie in beide Richtungen zeigen muss.
Meine Gedanken:
g teilt alle a (nach Definition von ggT). Jedes a_j ist also darstellbar durch g*q mit q eZ
heißt { a_1*z_1 + ... + a_n * z_n | z_1, ..., z_n eZ } ist im Grunde { g*q_1*z_1 + ... + g*q_n * z_n | z_1, ..., z_n eZ } = { g* (q_1*z_1 + ... + q_n * z_n) | z_1, ..., z_n eZ }. Davon ist jetzt jedes q_j * z_j eine ganze Zahl und die Summe dieser ganzen Zahlen ist auch wieder eine ganze Zahl, sprich: g*z.
Aber was bringt mir das jetzt bzw. wie kann ich das formal richtig aufschreiben?
Vielen Dank im voraus.
Liebe Grüße
