Für alle a,b,c ∈ Vo3 gilt < a-c , b-c > = 0

Question

Zeigen Sie : Für alle a,b,c ∈ V_o³   gilt  < a-c , b-c > = 0 genau dann , wenn gilt :

$$\left\| a-b \right\| ^{ 2 }=\left\| a-c \right\| ^{ 2 }+\left\| b-c \right\| ^{ 2 }$$

Welcher bekannte Satz wird hierdurch ausgedrückt  ? :s

 

Answer 1

\(\|a-b\|^2=<a-b,\, a-b>=<a-c+c-b,\, a-c+c-b>=<a-c,\, a-c+c-b>+<c-b,\, a-c+c-b>=\)
\(\|a-c\|^2+<a-c,\, c-b>+<c-b,\, a-c>+\|c-b\|^2=\)
\(\|a-c\|^2+\|b-c\|^2-2<a-c,\, b-c>\).

Dies ist \(\|a-c\|^2+\|b-c\|^2\) offenbar genau dann, wenn \(<a-c,\, b-c>=0\) ist.