Zeige: Es gilt ∥v∥ = ∥v∥neu für alle v ∈ V genau dann, wenn ⟨v,w⟩ = ⟨v,w⟩neu für alle v,w∈V gilt.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über C und sei ⟨·, ·⟩ : V × V → K ein Skalarprodukt.

Es bezeichne wie üblich ∥ · ∥ die mit Hilfe des Skalarproduktes ⟨·, ·⟩ definierte Norm. Sei nun (2) ⟨·, ·⟩neu : V × V → C ein weiteres Skalarprodukt auf V und bezeichne ∥ · ∥neu die zugehörige Norm.
Zeige: Es gilt ∥v∥ = ∥v∥neu für alle v ∈ V genau dann, wenn ⟨v,w⟩ = ⟨v,w⟩neu für alle v,w∈V gilt.

Problem/Ansatz:

also ich würde hier eben beide Richtungen zeigen also

∥v∥ = ∥v∥neu => ⟨v,w⟩ = ⟨v,w⟩neu

⟨v,w⟩ = ⟨v,w⟩neu => ∥v∥ = ∥v∥neu

aber hier habe ich leider keine Idee wie man dies zeigen kann

Comments

Rückrichtung ist trivial.

Für die Hinrichtung sollte dir das hier helfen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_identity#Complex_vector_spaces

$$\langle x \,|\, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2\right)$$