Existenz von Inversen in der (Halb-)Gruppe (ℤ8, *) beweisen

Question

Ich muss zeigen dass (ℤ₈, *) eine (Halb-)Gruppe und abelsch ist. Die Voraussetzungen für die Halbgruppe habe ich bewiesen (Abgeschlossenheit und Assoziativität). Jetzt muss ich noch zeigen ob diese Struktur eine Gruppe (und abelsch) ist oder nicht. Wie kann ich das inverse Element bestimmen?

Ich habe folgendes:

Das neutrale Element in dieser Struktur ist ∃1∈ℤ₈: a * 1 = 1 * a = a, ∀a∈ℤ
Wie kann ich wissen ob diese Halbgruppe ein Inverses besitzt?

Answer 1

Hallo,

du erhältst über \( 2 \cdot 4 = 0 \) zwei Elemente (nämlich \( 2 \) und \( 4 \)), die nicht invertierbar sind.

Beispielsweise folgt aus \( 2^{-1} \cdot 2 \cdot 4 = 0 \) nämlich \( 4 = 0 \), ein Widerspruch.

Die Kommutativität "erbt" diese Halbgruppe von der Multiplikation in \( \mathbb{Z} \).

Grüße

Mister