Es sei (G, ◦) eine Gruppe und x, y ∈ G. Beweisen Sie mit Hilfe der Ihnen bekannten Rechenregeln für Gruppen:

Question

Aufgabe:

Es sei (G, ◦) eine Gruppe und x, y ∈ G. Beweisen Sie mit Hilfe der Ihnen bekannten Rechenregeln für Gruppen:

(x◦y)⁻¹ = y⁻¹ ◦ x⁻¹

Problem/Ansatz:

Wie geht man voran?

Answer 1

(x◦y)⁻¹ ist ja das Inverse von (x◦y) . Also muss man zeigen,

dass  y⁻¹ ◦ x⁻¹ (Denn das soll ja angeblich gleich diesem Inversen sein.)

die Eigenschaften eines Inversen hat, nämlich von rechts und von links

mit x◦y verknüpft das neutrale Element ergibt.

von rechts: (x◦y) ◦ (y⁻¹ ◦ x⁻¹)  assoziativ anwenden

             =  x◦( y ◦ y⁻¹) ◦ x⁻¹  Def. von y^-1 anwenden ( e das neutrale.)

             = x◦ e ◦ x⁻¹    Def. von e anwenden

             = x ◦ x⁻¹   Def. von x^-1 anwenden

             = e

von rechts hat es also geklappt.

Ähnlich auch von links: (y⁻¹ ◦ x⁻¹)   ◦ (x◦y)

                          = ......           = e.