Zeigen Sie: Wenn ... dann ist (G,•) eine Gruppe.

Question

Aufgabe:

Eine nicht leere Menge \( \mathrm{G} \) mit einer Verknüpfung o heißt Halbgruppe, wenn für diese Verknüpfung das Assoziativgesetz gilt. Zeigen Sie: Ist \( (G, \circ) \) Halbgruppe und besitzen die Gleichungen \( a \circ x=b \) und \( y \circ a=b \) für alle \( a, b \in G \) jeweils Lösungen \( x, y \in G \), dann ist \( (G, \circ) \) Gruppe.

Ansatz:

Die Eigenschaften einer Gruppe: Existenz eines neutralen Elements und eines inversen Elements Und die Assoziativität.

Nun verwirren mich aber die zwei Gleichungen? Wie genau muss ich vorgehen..

Comments

Da G nicht leer findest du ein g in G

Nach der Voraussetzung existiert ein e in G

s.d. e o g = g (zweite Gleichung a=b=g)

Das e scheint ja ein guter Kandidat für ein (Links-)Neutrales Element zu sein.

Sei nun h in G beliebig. Dann findet man immer eine Lösung x in G zu

g o x = h

Es ist nun

e o h = e o (g o x) = (e o g) o x = g o x = h

Also ist e tatsächlich ein Linksneutrales Element.

So musst du dich nun eben weiter durch den Beweis hangeln.