Beweis K-Vektorraum-Isomorphismus

Question

Sei K ein Körper und Seien W ein K-Vektorraum und b = (b1,...,bn) eine endliche Basis von W. Weiter seien V ein K-Vektorraum und a = (a1,...,am) eine endliche Basis von V.

Für jedes f : W → V aus HomK(W,V) und jedes j ∈ {1,...,n} gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten α1 ...,αm j ∈ K mit

f(bj) = \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{m} \) αi jai = α_1ja₁ +α_2ja₂ +...+α_mja_m.

Beweisen Sie, dass gilt:

M^b_a: Hom_K(W,V) → M_m,n(K), f → M^b_a

ein K-Vektorraum-Isomorphismus, also Hom_K(W,V) ∼= M_m,n(K).
Ausgeschrieben bedeutet das: Für alle f,g ∈ Hom_K(W,V) und alle λ ∈ K gelten
M^b_a(f +g) = M^b_a(f) + M^b_a(g),
M^b_a(λ f) = λM^b_a(f).

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