Beweis Matrizen Bijektivität

Question

M_a^b  : Hom_K (W,V) → M_m,n (K),  f → M_a^b (f)

ein K-Vektorraum-Isomorphismus, also Hom_k (W,V) ∼= M_m,n (K).

Ausgeschrieben bedeutet das: Für alle f,g ∈ Hom_K(W,V) und alle λ ∈ K gelten

M_a^b (f+g) = M_a^b (f) + M_a^b (g),
M_a^b (λf) = λ M_a^b(f).
Beweisen Sie es.

Comments

1. Was ist \(K\)? Ich nehme an ein Körper?

2. Was sind \(V,W\)? Ich nehme an, es sind \(m\)- bzw. \(n\)-Dimensionale \(K\)-Vektorräume?

3. Was sind \(\text{Hom}\) und \(M_{m,n}(K)\)? Ich nehme an die Vektorräume der linearen Abbildungen \(W\to V\) und \(m\times n\)-Matrizen über \(K\)?

4. Was sind \(a,b\)? Ich nehme an Basen von jeweils \(V\) und \(W\)? \(M_a^b(-)\) darstellende Matrizen?

5. Habt ihr Bijektivität schon gezeigt? Die beiden unteren Bedingungen sind nur Linearität.

6. Hast du schon etwas selbst versucht? Wo steckst du fest?