Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen von f existieren und berechnen Sie diese

Question

Betrachten Sie die Funktion f : ℝ² → ℝ,
f (x, y) = \( \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \)  für (x, y) ≠ 0, f (0, 0) = 0.

a) Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen von f existieren und berechnen Sie sie.

b) Zeigen Sie, dass f nicht differenzierbar ist. Argumentieren Sie direkt, indem Sie die entstehende Rest-Funktion bestimmen und ihr Verhalten untersuchen.

Answer 1

Hallo,

eine Richtung ist ein Element \(v=(v_1,v_2) \in \mathbb{R}^2\). Du musst in Deiner Vorlesung nachschlagen, ob Ihr verlangt habt, dass diese Element die Länge 1 hat.

Jedenfalls musst du dann für einen Punkt \((x_0,y_0) \in  \mathbb{R}^2\) die Ableitung der Funktion

$$h(t):=f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)$$

im Nullpunkt ( \(t=0\)) berechnen, das ist die Richtungsableitung in diesem Punkt bezüglich der Richtung \(v\).

Außerhalb des Punktes \((0,0)\) kannst Du auch die Formel mit dem Gradienten verwenden.

Als Nebenergebnis bekommst Du auch die partiellen Ableitungen von f im Punkt \((0,0)\). Die brauchst Du dann für den zweiten Teil.

Gruß