Rechengesetz zu ln aus Rechengesetz mit e hoch eine Summe herleiten?

Question

Hallo. Kann mir einer bei dieser Aufgabe behilflich sein?

Wir wissen, dass e^x+y = e^x *e^y  . 

Warum folgt daraus ln (a*b) = ln (a) + ln (b) ?

Answer 1

Hallo,

das folgt aus der Definition des Logarithmus.

Def.: Der Logarithmus einer Zahl \(a\) zu einer Basis \(b\) ist die Zahl \(c\), mit der man \(b\) potenzieren muss, um \(a\) zu erhalten.

Dh.: $$\log_b(a) = c \space \Leftrightarrow \space b^c = a$$beide Ausdrücke sind äquvalent; sie sagen das selbe aus. Also gilt auch$$\begin{aligned} \log_e(e^c) &= c \\ \ln(e^c) &= c\end{aligned}$$ \(\log_e\) schreibt man auch als \(\ln\). Und wenn $$e^{x+y} = e^x \cdot e^y$$ dann ist auch $$\begin{aligned} \ln(e^{x+y}) &= \ln(e^x \cdot e^y) \\ x+y &= \ln(e^x \cdot e^y) \\ \ln(e^x) + \ln(e^y) &= \ln(e^x \cdot e^y) \end{aligned}$$und \(e^x\) und \(e^y\) kann man nun durch beliebige (positive) Zahlen \(a\) und \(b\) ersetzen,

Gruß Werner

Answer 2

$$ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b)\\ e^{ln(a \cdot b)} = e^{ln(a) + ln(b)}\\ a \cdot b = e^{ln(a)} \cdot e^{ln(b)}\\ a \cdot b = a \cdot b$$