Was ist hier gemeint mit hervorgerufene Funktonsänderung?

Question

Gegeben sei die Funktion

f(x1,x2)=e^{0.3x1+0.05x2−0.2x1x2.}

Wie stark ändert sich die Funktion an der Stelle a=(2.6,1), wenn das erste Argument um 2.3 steigt und das zweite Argument um 0.3 sinkt? Berechnen Sie die dadurch hervorgerufene Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials.

Könnte mir jemand bitte helfen diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x_1,x_2)=\exp\left(0,3x_1+0,05x_2−0,2x_1x_2\right)$$Wir bestimmen das totale Differential:$$df(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)\cdot\left(0,3-0,2x_2\right)dx_1+f(x_1,x_2)\cdot\left(0,05-0,2x_1\right)dx_2$$Die Funktion \(f(x_1,x_2)\) taucht in den Ableitungen auf, weil das quasi die \(e\)-Funktion selber ist. Die bleibt bei der Kettenregel "äußere mal innere" übrig. Speziell im Punkt \((2,6|1)\) lautet das totale Differential:$$df(2,6;1)=0,136343\,dx_1-0,640810\,dx_2$$$$\Delta f=0,136343\cdot2,3-0,640810\cdot(-0,3)=0,505831$$