Sei \( P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum \limits_{1 \leq i \leq j \leq n} \alpha_{i, j} x_{i} x_{j} \) mit Koeffizienten \( \alpha_{i, j} \in \mathbb{R} \)
a) Zeigen Sie, dass es eine symmetrische Bilinearform \( s: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \) gibt, sodass \( s(\vec{x}, \vec{x})=P(\vec{x}) \)
b) Sei \( A \) die zu \( P \) gehörige Matrix. Zeigen Sie, dass die Menge \( \left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} |\right. \) \( P(\vec{x})=0\} \) mehr als einen Vektor enthält, genau dann wenn \( A \) nicht nur positive oder nicht nur negative Eigenwerte hat. Sie können verwenden, dass die Matrix A diagonalisierbar ist.
