supremum infimum mit x+y+z=1

Question

Abend Leute,

B := {xyz|x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} . Hier muss ich Supremum uno Infimum bestimmen.

Ich behaupte, dass sup (B)= 1/3 und inf (B)=0

Idee :   \(\sqrt[3]{xyz} ≤  \frac{x+y+z}{3} \) ⇒ \( \sqrt[3]{xyz} \) ≤ \( \frac{1}{3} \) ,hier an dieser Stelle habe ich eine Frage, und zwar wenn ich hoch 3 nehme ,habe ich dann stehen xyz≤\( \frac{1}{27} \), was aber laut der Nebenbedingung x+y+z=1 nicht stimmt, da müsste iwie \( \frac{1}{3} \) als wahre Aussage stehen.

Mache ich iwo einen Fehler ?

Comments

Vielleicht ist dann sup(B)=1/27 ?

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Hallo

die Nebenbedingun x+y+z=1 ist doch mit x=y=z=1/3 erfüllt?  dein sup

B ist falsch

Gruß lul

Answer 1

habe ich dann stehen xyz≤\(\frac{1}{27}\), was aber laut der Nebenbedingung x+y+z=1 nicht stimmt

Das Argument leuchtet mir nicht ein.

Ich entnehme deiner Idee, dass das Supremum höchstens 1/27 betragen kann.

Comments

genau, also dass dann 1/27 Supremum von B ist, aber wenn ich für x=y=z= 1/27 einsetze kommt da nicht die 1 raus, aber wenn ich für x=y=z=1/3 einsetze schon. Das verwirrt mich ein bisschen und bin deshalb nicht sicher, ob 1/27 das Supremum ist.

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Du suchst den größtmöglichen Wert der Menge B, die aus allen möglichen Produkten x*y*z besteht, welche die Nebenbedingungen erfüllen. Diesen größtmöglichen Wert erhältst du, wenn du für x und y und z jeweils (1/3) einsetzt. Dieser größtmögliche Wert  IST DANN (1/27). Also ist 1/27 das Maximum und damit auch das Supremum.

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ach okay jetzt hat es klick gemacht , super danke euch !