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Wie bilde ich bei folgender Betragsfunktion die Ableitung:


f(x)= Ix 2 − 1 I




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Die Funktion ist an den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\) nicht differenzierbar, sonst schon. Löse den Betrag auf und leite intervallweise ab.

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die Ableitung des Betrags lautet :

$$  \frac { d }{ dx }(\vert x \vert)=\frac { x }{ \vert x \vert } $$ für x≠0

Mit der Kettenregel folgt:

$$  \frac { d }{ dx }(\vert (x^2-1) \vert)=\frac { (x^2-1)*2x }{ \vert (x^2-1) \vert } $$

für x≠±1

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f(x) =  (  x2 - 1         für  x ∈ ] - ∞ ; -1 ] ∪ [ 1 ; ∞ [

           ( - (x2 - 1)     für  x ∈ ] -1 ; 1 [

Für x ≠ ±1 gilt für die Ableitung der eingeschränkten Funktion fe :

fe '(x)  =ℝ\{±1}  (   2   für  x ∈ ] - ∞ ; -1 [ ∪ ] 1 ; ∞ [

                           (  -2   für  x ∈ ] -1 ; 1 [

wegen limx→ 1+    fe'(x)  = 2   ≠  -2  = l imx→1-  fe'(x) ist f nicht diffbar in x = 1

wegen limx→ -1+   fe'(x)  = -2  ≠   2  =  limx→1-  fe'(x) ist f nicht diffbar in x = -1

-----------

Anschaulich ist f in x = ± 1 nicht differenzierbar, weil der Graph dort jeweils einen "Knick" hat, so dass keine eindeutige Tangentensteigung definiert werden kann.

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang

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