Koordinatengleichung einer Ebene berechnen

Question

Ich soll die Koordinatengleichung einer Ebene berechnen und gegeben sind vier Punkte, wovon zwei noch unbestimmt sind. Reicht es, wenn ich zwei dieser Punkte für das LGS heranziehe oder müssen es mind. 3 Punkte sein?

Answer 1

Hallo,

... eine erstaunliche Frage!

Mal angenommen, da sind 4 Tischbeine (Punkte) und eine Tischplatte (Ebene). Wieviele Tischbeine musst Du mindestens unter die Tischplatte montieren, damit der fertige Tisch nicht umfällt?

Comments

Eines dieser Punkte ist [0,0,0] soll ich den dann trotzdem beim LGS verwenden? Das geht ja nicht

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Eines dieser Punkte ist [0,0,0] soll ich den dann trotzdem beim LGS verwenden? Das geht ja nicht

Warum geht das nicht

ax + by + cz = d

0a + 0b + 0c = d → d = 0

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Ah ok. Reicht es aber, wenn ich nur drei Punkte benutze? Hast du das also so gemacht, dass du aus diesen 3 Punkten die Parametergleichung erstmal aufgestellt hast und dann die Koordinatenform berechnet hast?

Answer 2

Du brauchst drei Punkte die komplanar sind, also nicht auf einer Geraden liegen.

Die Punkte ABC können eine Ebene bilden. Die Parametergleichung lautet dann

E: X = A + r * AB + s * AC

Ich schreibe Ortsvektoren groß ohne das vorangestellte O.

AB und AC sind linear unabhängig und spannen eine Ebene auf.

Der Normalenvektor lässt sich über das Kreuzprodukt bestimmen.

n = AB x AC

Die Koordinatengleichung lautet dann wie folgt

E: X * n = A * n

Comments

Kann ich das dann erstmal so machen, dass ich als erstes mit den 3 Punkten (oder müssen es 4 sein?) eine Parametergl. aufstelle, indem ich z.B. A als Stützvektor nehme und dann die Richtungsvektoren mit AB und AC? Und dann anschließend in die Koordinatenform umwandle?

Answer 3

Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar

Hat man 2 Unbekannte und nur 1 Gleichung,dann kann man 1 Unbekannte frei wählen und die andere Unbekannte ergibt sich daraus.

also dan unendlich viele Lösungen