Bild einer stetig diffbaren Fkt. bestimmen, zz f ist überall lokal invertierbar, zz es gilt: Dg(q) = (Df(p))^-1

Question

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Funktion f = (f₁ , f₂ ) : ℝ² → ℝ² ,
f₁ (x, y) = e^x cos(y)
f₂ (x, y) = e^x sin(y).

a) Bestimmen Sie das Bild von f .

b) Zeigen Sie, dass die Ableitung Df (x, y) umkehrbar ist in allen (x, y) ∈ ℝ² , also dass f überall lokal invertierbar ist. Ist f (global) invertierbar?

c) Betrachten Sie die Punkte p = (0, $\frac{π}{3}$ ) und q = f (p). Wegen (b) gibt es Umgebungen U von p und W von q, so dass f die Umgebung U bijektiv auf W abbildet. Sei g die lokale Umkehrfunktion, die auf W definiert ist. Finden Sie direkt eine explizite Darstellung für g und berechnen Sie anschließend Dg(q) und Df(p), um zu zeigen, dass tatsächlich gilt:
Dg(q) = (Df(p))^-1

d) Beschreiben Sie das Bild unter f von zu den Koordinatenachsen parallel verlaufenden
Geraden.

Comments

Hallo,

Du musst Dich für a) und b) mit der Frage auseinandersetzen: Wenn (s,t) gegeben ist, existieren dann (x,y) mit f(x,y)=(s,t). Das ist konkret das Gleichungssystem:

$$e^x \cos(y)=s \text{ und } e^x \sin(y)=t$$

Wegen der trigonometrischen Funktionen liegt es nahe, beide Gleichungen zu quadrieren und zu addieren ....

Gruß