Aloha :)
Die Kostenfunktion \(K(x_1,x_2)=71x_1+79x_2\) ist unter der Nebenbedinung \(F(x_1,x_2)=2941\) zu minimieren. Dafür stellen wir die Lagrange-Funktion auf:
$$L(x_1,x_2)=71x_1+79x_2-\lambda\cdot(F(x_1,x_2)-2941)$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_1 L=71-\lambda\partial_1F=71-\lambda(20x_1+80x_2)\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{71}{20(x_1+4x_2)}$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_2 L=79-\lambda\partial_2F=79-\lambda(80x_1+20x_2)\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{79}{20(4x_1+x_2)}$$Bevor wir die partielle Ableitung \(\partial_\lambda L\) verarbeiten, wollen wir \(\lambda\) loswerden:
$$1=\frac{\lambda}{\lambda}=\frac{\frac{71}{20(x_1+4x_2)}}{\frac{79}{20(4x_1+x_2)}}=\frac{71}{20(x_1+4x_2)}\frac{20(4x_1+x_2)}{79}=\frac{71(4x_1+x_2)}{79(x_1+4x_2)}\quad\Rightarrow$$$$79(x_1+4x_2)=71(4x_1+x_2)\quad\Rightarrow\quad245x_2=205x_1\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{41}{49}x_1$$Damit gehen wir die letzte partielle Ableitung an:
$$0\stackrel{!}=\partial_\lambda L=F(x_1,x_2)-2941=10x_1^2+80x_1x_2+10x_2^2\quad\Rightarrow\quad$$$$2941=10x_1^2+80x_1\frac{41}{49}x_1+10\left(\frac{41}{49}x_1\right)^2=\frac{201\,540}{2401}x_1^2$$Da wir eine Lösung im ersten Quadranten suchen, kommt nur die positive Lösung in Frage:
$$x_1=\sqrt{\frac{2401\cdot2941}{201\,540}}\approx5,9192\quad;\quad x_2=\frac{41}{49}x_1\approx4,9528$$Wir berechnen noch die anderen abgefragten Größen:$$\lambda=\frac{71}{20(x_1+4x_2)}\approx0,1380\quad;\quad\frac{x_1}{x_2}=\frac{49}{41}\approx1,1951$$$$C(x_1,x_2)=71x_1+79x_2\approx811,53$$Offensichtlich ist hier keine der vorgegebenen Antworten korrekt.
