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Ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Es sei \((a_n)_{n∈ℕ}\) eine Folge. Beweisen Sie, dass \((a_n)_{n∈ℕ}\) höchsten einen Grenzwert hat.

von

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Es reicht hier zu zeigen, dass der Grenzwert (falls er existiert) einer Folge eindeutig ist. Nimm dann mal für eine konvergente Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) an, dass diese zwei Grenzwerte a und b hat und zeige, dass a=b gilt.

von 8,1 k

Zwein Grenzwerte?

Ich checke das ned so wirklich..

würde dir dankbar sein, wenn du mir die Lösung kurz hinschreiben könntest.. es geht um Leben und Tod

Im Grunde sollst du das zeigen:

\(\lim a_n=x \) und \(\lim a_n=y \) \(\quad \Rightarrow \quad x=y\).

Die Voraussetzung ist ja

\(\lim a_n=x \) und \(\lim a_n=y \), d.h., es existieren Grenzwerte. Dann kann man doch per Definition jeweils schreiben:

\(\exists \ N_1\in \mathbb{N} \ \forall \ n\geq N_1: |a_n-x|<\varepsilon\) und

\(\exists \ N_2\in \mathbb{N} \ \forall \ n\geq N_2: |a_n-y|<\varepsilon\), wobei bei beiden \(\varepsilon >0 \) beliebig.

Definiere also \(N:=\max(N_1,N_2)\) und man hat damit

\(|a_N-x|<\varepsilon \) und \(|a_N-y|<\varepsilon \).

Jetzt kann man mit der Dreiecksungleichung arbeiten:

\(|x-y|\leq |a_N-x|+|a_N-y|=2\cdot \varepsilon\quad  \) (**).

Da hier \(\varepsilon \) beliebig ist, kannst Du (Du musst) dir hier ein ,,schönes'' \(\varepsilon=...\) bauen, um gerade mit (**) einen Widerspruch zu erzeugen. Dieses kann man so wählen, sodass man |x-y|<|x-y| erhält. Und das ist ein Widerspruch.

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