Mithilfe der Definition zeigen, dass f in allen Punkten x ∈ ℝ^n differenzierbar ist und usw. Richtig gerechnet?

Question

Habe ich folgende Aufgabe richtig gerechnet?

Hallo

ich wollte mal fragen kann mir jemand sagen ob ich hier richtig gerechnet habe ?

Seien a ein beliebiger Vektor aus ℝⁿ. Betrachten Sie die folgende Abbildung :

f : ℝⁿ → ℝ,         x ↦ ⟨ a - x, x⟩.

Zeigen sie mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit, dass f in allen Punkten x ∈ ℝⁿ differenzierbar ist und die Ableitung

f ' (x) = (a - 2x)^T  besitzt.

(Vielleicht als Info dazu, die ganzen a und x haben oben drauf ein Pfeil )

Mein Ansatz dazu wäre:

f = ( a - x) * x = ax -x²

 Δf  = f (x + Δx) - f (x)

      = ( a * (x + Δx) - (x + Δx)²) - (ax - x²)

      =aΔx - 2xΔx - Δx²

       = (a - 2x) Δx - Δx²

      lim Fehler / ιιΔxιι = lim Δx² / √Δx²    = lim Δx⁴ / Δx²

                                                                = Δx² = 0

Wäre das so richtig ?

Bedanke mich im Voraus :)

Answer 1

Irgendwie rechnest Du so, als ob alles eindimensional ist, was ja nicht der Fall ist. Sei \( f(x) = (a-x)^T x\). Dann ist \( f(x_0) = (a-x_0)^T x_0 \). Die Funktion ist differenzierbar wenn gilt

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + r(x) $$ mit \( \lim_{x \to x_0} \frac{ r(x) }{ \| x - x_0 \|} = 0 \).

Es soll gelten \( f'(x_0) = (a - 2x_0)^T \)

Jetzt alles einsetzen was man hat ergibt $$ (a-x)^T x = (a-x_0)^T x_0 + ( a - 2x_0)^T (x - x_0) + r(x) $$ Ausmultipliieren ergibt

$$  a^Tx - x^T x = a^T x_0 - x_0^T x_0 +a^Tx - a^T x_0 -2x_0^T x + 2x_0^T x_0 + r(x) $$ Vereinfachen ergibt

$$ -x^Tx - x_0^Tx_0+ 2x_0^Tx = r(x) $$ Die linke Seite kann man vereinfachen und bekommt

$$ -(x-x_0)^T(x-x_0) =  - \| x-x_0\|^2= r(x)  $$ D.h. $$ \lim_{x\to x_0} \frac{r(x)}{ \|x - x_0\| }  = 0 $$