Wie wird das Integral null?

Question

Wie müssen die Integrationsgrenzen gewählt werden, damit ein Integral den Wert null hat. Wie kann man das allgemein beschreiben, bzw. welche Bedingungen müssen dafür erfüllt sein?

Answer 1

Aloha :)

Unabhängig von der Funktion ist ein Integral immer \(=0\), wenn die obere und die untere Integrationsgrenze gleich sind:$$\int\limits_a^af(x)dx=0$$Ansonsten hängt es von der Funktion ab, wann ein Integral \(=0\) wird. Bei punktsymmetrischen Funktionen (also falls \(f(-x)=f(x)\) gilt) wird das Integral \(=0\) wenn das Integrationsintervall symmetrisch ist:$$\int\limits_{-a}^a f(x)=0\quad\text{falls}\quad f(-x)=-f(x)$$Allgemein verschwindet das Integral einer Funktion über einem Intervall, wenn die Fläche, die die Funktion mit der x-Achse einschließt, oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß sind.

Answer 2

Die Fläche unterhalb der x-Achse muss gleich der Fläche oberhalb der x-Achse sein.