Frage: An welcher Stelle ist der Knick?

Question

Aufgabe:

Eine 12 Meter hohe Fichte knickt ab. Die Spitze landet 4,5 Meter vom Baumstumpf weg. Es entsteht dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. Die Lösung soll mit Zirkel und "Mittelpunkt" gefunden werden. Nicht über den Satz des Pythagoras. 
Frage: An welcher Stelle ist der Knick?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo Silas,

wenn die Spitze des Baumes umknickt, so wird das umgeknickte Stück ja seine Länge nicht verändern. Folglich ist der Knick (Punkt \(K\)) genauso weit von der (ehemaligen) Spitze \(S\) des Baumes entfernt, wie von der Stelle \(S'\) an der die Spitze auf dem Boden aufkommt:

Es gilt \(|KS| = |KS'|\). Daher liegt der Knick \(K\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(SS'\). Konstruiere also die Mittelsenkrechte, die den Baum (\(W_{\text{urzel}}S_{\text{pitze}}\)) dann in \(K_{\text{nick}}\) schneidet.

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Danke ... jetzt ist es klar ... wir hatten das Thema leider nicht und im Homeschooling gibt es leider keine Videobetreuung ... vielen lieben Dank

Answer 2

(12-x)^2 +4,5^2 = x^2

x= ...

Comments

Leider haben wir den Satz des Pythagoras noch nicht ... die Ermittlung soll über Zirkel und Mittelpunkt finden gehen ... so hat es uns der Lehrer gerade geschrieben ...

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Da steckt allerdings Pythagoras drin ...

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Da steckt allerdings Pythagoras drin ...

nicht zwingend! geht auch mit linearen Funktionen oder mit Vektorrechnung oder zeichnerisch oder ...

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" Da steckt allerdings Pythagoras drin ...
nicht zwingend! geht auch mit linearen Funktionen oder mit Vektorrechnung oder zeichnerisch oder ... "

Bei meinem Kommentar bezog ich mich auf die Gleichung

(12-x)² +4,5² = x²   (von Gast2016)

wenn da kein Pythagoras drin sein sollte, dann fresse ich einen Sack voll Quadratwurzeln ...

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oder ...

Was steckt hier drin ?

1. Kreis mit Durchmesser AB (=Fichte, 12)
2. Kreis um B mit Radius 4,5
3. Schnittpunkte der Kreise :  C,D
4. Schnittpunkt der Strecken AB und CD ist E
5. Mittelpunkt von AE ist K (Knickstelle)

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Was steckt hier drin ?

Na ja - die zeichnerische Umsetzung der Formel zur Berechnung der Knickstelle ...$$ k = \frac{h^2-a^2}{2h} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2k}{\sqrt{h^2-a^2}} = \frac{\sqrt{h^2-a^2}}{h}$$ ... würde ich sagen. \(h\) Baumhöhe, \(a\) Abstand der abgebrochenen Spitze von der Wurzel und \(k\) ist die Höhe.des Knicks über der Wurzel.

So richtig cool wäre es natürlich, wenn Silas diese Lösung seinem Lehrer präsentieren würde. Da wäre ich doch gerne Mäuschen ;-)

Answer 3

Eine Skizze könnte helfen:

Zeichne auf der horizontalen Bodenlinie eine Vertikale FS der Länge 12 m vom Fußpunkt F der Fichte zu ihrer ursprünglichen Spitze S. Nach dem Abknicken der Fichte in einem gewissen Knickpunkt K (auf der Strecke FS) kommt die Baumspitze in einem gewissen Punkt B (in der Entfernung 4.5 m vom Fußpunkt F) auf den Boden. Beachte dann einfach, dass die Strecke KB gleich lang sein muss wie die Strecke KS . Dann genügt eine ganz klitzekleine Idee, um auf die passende Konstruktion zu kommen !