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Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren den Punkt Q in der Ebene
E
= {2x + 4yz = 0} ⊂ ℝ3 , der dem Punkt P = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) am nächsten ist.

(b) Bestimmen Sie mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren Maximal- und Minimal-Stellen der Funktion f (x, y) = 4y x unter der Nebenbedingung h (x, y) = 0 mit h (x, y) = x2xy + y2x + y4.

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Hallo Emma,

Es ist ein Punkt \(Q\) gesucht, dessen Abstand zu \(P\) möglichst klein ist - also:

$$\begin{aligned} |Q-P| &\to \min \\ \implies F(Q) &= (Q-P)^2 \to \min \end{aligned}$$Die Nebenbedingung ist \(2x + 4y − z = 0\), somit ist die Lagrange-Funktion nebst Ableitungen usw.:

$$\begin{aligned} L(Q,\lambda) &= (Q-P)^2 + \lambda(2x + 4y − z = 0) \\ \frac{\partial L}{\partial Q} &= 2\left(Q-P \right) + \lambda \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix} = \vec 0 \\ \implies Q &= -\frac 12 \lambda \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix} + P \\ \end{aligned}$$

und heraus kommt eine Geradengleichung (substituiere \(- \frac 12 \lambda = t\)), die ich in die Nebenbedingung einsetze:

$$\begin{aligned} Q \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix} &= 0 \\ \left( \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix}t + P\right) \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix} &= 0 \\ (2^2 + 4^2 + (-1)^2) t + (2 + 0 \cdot 4 + (-1)) &= 0 \\ 21 t + 1 &= 0 \\ \implies t &= - \frac 1{21} \end{aligned}$$

setzt man das gefundene \(t\) in die Geradengleichung ein, so erhält man den gesuchten Punkt \(Q\)

$$Q = - \frac 1{21} \begin{pmatrix} 2\\4\\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0\\ 1 \end{pmatrix}  =  \frac 1{21} \begin{pmatrix} 19\\-4\\ 22 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.905\\ -0.190\\ 1.048\end{pmatrix}$$

wenn man das ganze räumlich interpretiert, dann sieht es so aus:

Untitled6.png

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene in 3D)

Die grüne Ebene zeigt die Nebenbedingung an und die schwarze Gerade ist das Ergebnis des Lagrange-Multiplikators. Der Schnittpunkt von beiden ist \(Q\). \(Q\) ist der Punkt der Ebene, der \(P\) am nächsten liegt.


zu b) Die Funktion und die Nebenbedingung sind $$ f(x,y) = 4y - x \to \text{opt.} \\ \text{NB.:} ~ 0 = x^{2} - xy + y^{2} - x + y - 4 $$

Damit lässt sich die Lagrange-Funktion aufstellen$$L(x,y,\lambda) = 4y - x + \lambda(x^{2} - xy + y^{2} - x + y - 4) $$Ableiten nach \(x\) und \(y\), Nullsetzen und das \(\lambda\) eliminieren gibt$$\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial x} &= -1 + \lambda(2x-y-1) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 4 + \lambda(-x + 2y + 1) = 0 \\ -4(2x-y-1) &= -x + 2y + 1 \\ -8x + 4y + 4  &= -x + 2y + 1 \\ 3 &= 7x - 2y \\ y &= \frac 12 (7x-3) \end{aligned}$$Und wenn man dies in die Nebenbedingung einsetzt, so bleibt eine quadratische Gleichung mit den Lösungen\(x_1 = 1\) und \(x_2=-1/3\). Graphisch sieht das so aus:

Untitled6.png

Das ist eine Ellipse (die Nebenbedingung), die in einer (schiefen) Ebene liegt. Das Maximum auf dieser Ellipse liegt bei$$(x,y)_{\max} = \begin{pmatrix} 1& 2\end{pmatrix}, \quad f(1,2) = 7$$und das Minimum liegt bei$$(x,y)_{\min} = \begin{pmatrix} -\frac 13& -\frac 83\end{pmatrix}, \quad f\left( -\frac 13, -\frac 83\right) = -\frac {31}3$$

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Die Gleichung bei (a) lautet

$$  L(x,y,z) = (x-1)^2 +y^2 +(z-1)^2 + \lambda (2x+4y-z)  $$

Partielle Ableitungen von \( L(x,y,z) \) Null setzen und nach \( x,y,z,\lambda \) auflösen ergibt $$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \lambda \end{pmatrix} = \frac{1}{21} \begin{pmatrix} 19 \\ -4 \\ 22 \\ 2 \end{pmatrix}  $$ Kann mit der Formel $$ \frac{ | \vec{n} \cdot \vec{p} |}{ |\vec{n}| } $$ überprüfen.

Gleiches Vorgehen bei (b) nur ohne die Überprüfung, die klappt nur bei der Ebene.

Und noch die Hessematrix ausrechnen wegen Minimum und Maximum.

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