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Aufgabe: Sei ||•|| eine Norm auf ℂn. Sei B eine invertierbare n x₋ n- Matrix. Wir definieren eine Abbildung ||•||B: ℂ→ ℂ durch ||x||= ||Bx||. Zeigen sie ||•||B ist eine Norm.


Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass ||•||B  (ab jetzt als ||•|| abgekürzt) eine Norm ist müssen drei Eigenschaften gezeigt werden. Ich habe bereits N1: ||x|| = 0 ⇔ x=0 und N2: ||λx|| = λ||x|| gezeigt.

Bei der N3: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, komme ich nicht weiter. Mein Ansatz bisher ist:

||x +y||2 = ||Bx + By||2 = ⟨Bx + By, Bx + By⟩ = ⟨Bx, Bx⟩ + ⟨By, By⟩ + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ = ||x||2+ ||y||2 + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩

Nun müsste ich  ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ ≤ 2* ||y||*||x|| abschätzen um auf mein gewünschtes Ergebnis zu kommen. Hier komme ich allerdings nicht weiter. Ich bin mir allerdings auch unsicher ob ich ⟨Bx + By, Bx + By⟩ = ⟨Bx, Bx⟩ + ⟨By, By⟩ + ⟨Bx, By⟩ + ⟨By, Bx⟩ so umformen darf. Würde mich über Anregungen freuen.

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Hallo,

du machst es zu kompliziert. Ziel muss es sein, es auf die Dreiecksungleich von ||...|| zurückzuführen, also


||x+y||_B =||B(x+y)||=||Bx+By||<= ||Bx||+||By||

=||x||_B + ||y||_B

Avatar von 37 k

Danke. Da hatte ich einen Denkfehler. Mir war nicht bewusst, dass ich ja nutzen kann das ||•|| bereits eine Norm ist.

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