Zeigen Sie, für einen K - Vektorraum und einen Endomorphismus φ : V→V äquivalente Aussagen.

Question

Hallo. Aufgabe:
Es sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und φ : \(V \to V\)ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen äquivalent sind: 

(i) \(V\) = ker(φ) ⊕ img(φ)
(ii) ker(φ) = ker(φ ◦ φ)
(iii) img(φ) = img(φ ◦ φ)

Hätte jemand eine Idee für mich dies zu Lösen? Ich finde leider keine wirkliche Lösung oder Ansatz. 
Über Hilfe/Erklärungen würde ich mich freuen. Danke schon mal im voraus!

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

Stichworte: äquivalenz,vektorraum,lineare-algebra,endomorphismus

Hallo, ich bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe. Vielen Dank im voraus 

Text erkannt:

Es sei \( V \) ein endlichdimensionaler \( \mathbb{K} \) -Vektorraum und \( \phi: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) \( V=\operatorname{ker}(\phi) \oplus \operatorname{img}(\phi) \)
(ii) \( \operatorname{ker}(\phi)=\operatorname{ker}(\phi \circ \phi) \)
(iii) \( i m g(\phi)=i m g(\phi \circ \phi) \)

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Bitte Geduld. Fragen der Kollegen beachten und nicht alles mehrfach eingeben.

Es gibt auch eine "Suche" und unten eine Rubrik "ähnliche Fragen".

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Vom Duplikat:

Titel: K-Vektorraum und φ : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Stichworte: vektorraum,endomorphismus

Aufgabe:

Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und φ : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen äquivalent sind:

Ich muss diese zwei Behauptungen beweisen und verstehe kein Wort:

(i) ker(φ) = ker(φ ◦ φ)

(ii) img(φ) = img(φ ◦ φ)

Answer 1

Hallo,

wir zerlegen \( x \in V \) in \( x = x - \varphi(x) + \varphi(x) \) und nutzen (iii) \( \textrm{im}(\varphi) = \textrm{im}(\varphi^2) \), um zu zeigen, dass \( x - \varphi(x) \) im Kern von \( \varphi \) liegt: \( \varphi(x - \varphi(x)) = \varphi(x) - \varphi(x) = 0 \). Damit ist (i) gezeigt.
 
Leicht zu verstehen ist \( \ker(\varphi) \subset \ker(\varphi^2) \), denn mit \( \varphi(x) = 0 \) ist wegen der Linearität von \( \varphi \) auch \( \varphi^2(x) = 0 \).

Sei nun \( \varphi^2(x) = 0 \). Wir sehen \( \varphi(x) \in \ker(\varphi) \). Zugleich ist aber natürlich \( \varphi(x) \in \textrm{im}(\varphi) \). Es ist also \( \varphi(x) \in \ker(\varphi) \cap \textrm{im}(\varphi) = 0\). Die Gleichheit gilt wegen (i). Damit ist (ii) gezeigt.

Ist schließlich (ii) \( \ker(\varphi) = \ker(\varphi^2) \), dann muss, weil \( V \) endlich-dimensional ist, \( \textrm{im}(\varphi) = \textrm{im}(\varphi^2) \) sein. Damit ist (iii) gezeigt.



Mister

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Dankeschön!!

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