Gauss-Jordan-Verfahren Inverse berechnen mit Parametern aus den komplexen Zahlen

Question

Die Matrix A mit dem Gauß-Jordan-Verfahren invertieren und angeben, für welche Werte des Parameters λ Element aus ℂ dies möglich ist.

A=\( \begin{pmatrix} 1 & λ & 0 & 0 \\ λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich das Jordan-Gauss Verfahren durchführe, komme ich durch die Zeilenprozesse auf folgende Matrix A^-1

-λ²                      1+λ                    0      0

(1/λ)-λ               -(1/λ)+1               0       0 

λ²-1                     λ-1                   1       0

-λ³+λ                   λ²-λ                  0       1

Wenn ich jetzt aber probehalber die Matrizen multiplizieren komme ich nicht auf der Einheitsmatrix E raus. Kann ich nicht "normal" rechnen, da λ aus den komplexen Zahlen kommt oder habe ich hier einen simplen Rechenfehler gemacht?

Kann mir jemand erklären, wie ich die komplexen Zahlen in einer Matrix behandele? Vielen Dank!

Answer 1

Ich bekomme für die Inverse  (mit x statt Lambda) :

$$\begin{pmatrix} \frac{-1}{x^2-1} &  \frac{x}{x^2-1} &0&0 \\  \frac{x}{x^2-1} &  \frac{-1}{x^2-1} &0 & 0 \\ \frac{-x^2}{x^2-1} &  \frac{x}{x^2-1} &1 & 0\\ \frac{x^3}{x^2-1} &  \frac{-x^2}{x^2-1} &-x & 1 \end{pmatrix}$$

und dann musst du nur schauen, wann der Nenner 0 wird.

Also  1 und -1 ausschließen.

Comments

Der online inverse calculator sagt \(a_{43}=-x\) und \(a_{44}=1\)

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Danke, das stimmt, da hatte ich mich verschrieben. Wird korrigiert.

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Danke erstmal euch beiden!

Die Umformung leuchtet mir glaube ich ein.

Aber das mit den komplexen Zahlen nicht wirklich. Noch habe ich ja alles behandelt wie die Reellen Zahlen, oder?

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Auch bei den komplexen Zahlen dürfen die Nenner

nicht sein. Wäre da z.B. im Nenner   x^2 + 1 gewesen ,

wäre das im Reellen kein Problem, im Komplexen

wären da i und -i die auszuschließenden Fälle.

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können für x² die komplexen Zahlen überhaupt den Wert 1 annehmen? i² ergibt ja wie du schon sagst -1 und die "nächsthöheren/-niedrigeren Potenzen", die i^a = 1 ergeben, sind doch 0 und 4, oder?

Dann kann der Nenner nie 0 werden in den komplexen Zahlen?

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Die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der

komplexen Zahlen, also ist 1 auch eine komplexe Zahl,

wenn du so willst 1 = 1+0*i

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Also Realteil 1 und Imaginärteil 0. Das macht Sinn, danke!

Du hast mir sehr geholfen :)