Verfahren von Gauss/Jordan auf die erweiterte Koeffizientenmatrix

Question

Aufgabe:

Wenden Sie das Verfahren von Gauss/Jordan auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an, um
die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b mit

$A:=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ 3 & 1 & a+3\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \quad$ und $\quad b:=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ a+2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}$

in Abhängigkeit vom Parameter a ∈ R zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Also meine Idee wäre beide in eine Matrix zu schreiben und bis zu den Fällen für a umformen. Dann kommt aber bei einem Fall $\left(\begin{array}{lll|l}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ raus. Was ja ein Wiederspruch bei meiner Idee wäre und bei dem anderen Fall $\left(\begin{array}{lll|l}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ mit der Lösung von: $X=\left(\begin{array}{c}-x_{3} \\ 2 \\ x_{3}\end{array}\right)$ . Könnte mir jemand bitte seine Lösung für das problematische Thema zeigen und schreiben was ich falsch gemacht habe.

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{ccc|c|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & 1 & 0 &\\1 & 1 & a+1 & 2 &-\text{Gleichung 1}\\3 & 1 & a+3 & a+2 &-3\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline1 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 1 & a & 2 &\\0 & 1 & a & a+2 &-\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 1 & a & 2 &\\0 & 0 & 0 & a &\end{array}$$Die letzte Gleichung $(0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=a)$ ist nur für $a=0$ erfüllt.

Das heißt, für $a\ne0$ hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Für $a=0$ lauten die erste und die zweite Gleichung:$$x+z=0\quad;\quad y=2$$Stellen wir die erste Formel nach $z=-x$ um, können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\2\\-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$$