Aus meiner Sicht hast du zwei Möglichkeiten:
1.) Wenn ihr folgendes schon gezeigt habt, dann ist dein Beweis zur obigen Aussage ein Einzeiler:
Für K-Vektorräume U,V und W mit Basen A,B und C sowie mit zwei linearen Abbildungen φ : U→V und ψ : V→W gilt:
MCA(ψ∘φ)=MCB(ψ)⋅MBA(φ).
2.) Erstelle dir ein kommutatives Diagramm in dieser
https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#/media/Datei:Diagram_…
Dabei hast du eben nur V überall einzusetzen, weil du hier nur mit diesem arbeitest. Dann kannst du damit Induktiv deine Behauptung folgern.