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Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum mit Basis \( B:=\left\{b_{1}, \ldots, b_{n}\right\} \) und \( \varphi \) ein Endomorphismus in \( V \) mit Darstellungsmatrix \( M_{B}(\varphi) . \) Beweisen Sie, dass

$$ \left(M_{B}(\varphi)\right)^{k}=M_{B}\left(\varphi^{k}\right) $$
für \( k=1, \ldots, n \) gilt.


Wie beweise ich das?

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Aus meiner Sicht hast du zwei Möglichkeiten:

1.) Wenn ihr folgendes schon gezeigt habt, dann ist dein Beweis zur obigen Aussage ein Einzeiler:

Für \(\mathbb{K}\)-Vektorräume \(U,V\) und \(W\) mit Basen \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) und \(\mathcal{C}\) sowie mit zwei linearen Abbildungen \(\varphi:\ U \rightarrow V \) und \(\psi:\ V\rightarrow W \) gilt:

\( \qquad \qquad \qquad  M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}(\psi\circ \varphi) = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(\psi)\cdot M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(\varphi) \).


2.) Erstelle dir ein kommutatives Diagramm in dieser

https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#/media/Datei:Diagram_for_transformation_matrix_of_composition.svg

Dabei hast du eben nur \(V\) überall einzusetzen, weil du hier nur mit diesem arbeitest. Dann kannst du damit Induktiv deine Behauptung folgern.

Avatar von 14 k

also:

zu 2) Weil das folgende Diagramm kommutativ ist und daher mit Zusammensetzungen von Endomorphismen kompatibel ist, die die Quadrate nebeneinander bilden (insbesondere mit φ∘φ). Hier: B: V → K^n identifiziert V mit K^n durch Identifizieren von bi mit ei = (0,0, ..., 1, ..., 0). Wenn man diese Quadrate zusammensetzt, erhält man das gewünschte Ergebnis?

blob.png


ist das so akzeptabel?

Um das deutlicher zu machen, was du meinst, kannst du ja noch so ein Quadrat als Andeutung ansetzen:

Bildschirmfoto von 2020-06-02 00-16-26.png

Vielen Dank! Jetzt ist es mehr nachvollziehbar.

Hallo,

könntest du bitte bei 1) eventuell das vollständig zeigen?

LG

Dazu kannst du analog wie oben in meinem letzten Post vorgehen:

Bildschirmfoto von 2020-06-02 18-17-32.png

Nutze dann die Assoziativität der hier verwendeten Multiplikation. Durch die beliebige, aber feste, Wahl der Basen, folgt damit die Eindeutigkeit der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung (zueinander isomorph!).

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Das lässt sich mittels vollständiger Induktion über k zeigen.

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