Ebene, Richtungsvektor und Gerade berechnen?

Question

Aufgabe:

Es soll der Abstand von \( P(6|7|-9) \) zur Ebene

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}3 \\ 4 \\ -1\end{array}\right) \)

ermittelt werden.

a) Geben Sie die Gleichung der Geraden \( g \) an, welche durch P und senkrecht zu \( E \) (also senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren von \( E \) ) verläuft.

b) Berechnen Sie den Schnittpunkt \( S \) von \( g \) mit \( E \). Der gesuchte Abstand ist \( |\overrightarrow{S P}| \)

 

Problem/Ansatz:

Wisst ihr vielleicht welchen Rechenweg ich hier anwenden muss?

Answer 1

Hallo,

senkrecht zur Ebene ist die Gerade \(g: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+t\cdot \vec{n}\), wobei \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix}=7\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}\). Den Schnittpunkt erhältst du, indem du entweder \(g\) mit \(E\) gleichsetzt (dabei ist es klüger, die Koordinatenform zu nehmen, da du ja schon \(\vec{n}\) berechnest hast).

Der Schnittpunkt \(S\) ist dann der Lotfußpunkt und der damit gesuchte Punkt mit dem kürzesten Abstand zu \(P\), der auf der Ebene liegt. Ich erhalte \(|\overrightarrow{SP}|=\sqrt{75}\).

Answer 2

Nimm als Richtungsvektor 

-1
1
1

(bekommst du z.B. mit dem Kreuzprodukt)

Und lass die Gerade durch P gehen, also

        6                       -1
x =   7       +    t   *     1
        -9                       1

Schneide diese Gerade mit E. Das gibt bei mir  t= -13/3

(Rechne mal lieber nach.)

Also S = ( 31/3  ;  8/3 ;  -40/3 ) und dann die Länge von PS

bestimmen, gibt 13*√3  / 3 .  Das ist der Abstand.

Answer 3

Abstand von Punkt /Eben

d=d(P;E)=|(p-a)*no|

no=Normaleneinheitsvektor  Betrag |no|=1

nox=nx/|n|

noy=ny/|n|

noz=nz/|n|

Betrag  |n|=Wurzel(nx²+ny²+nz²)

Normalenvektor über das Vektroprodukt (Kreuzprodukt)

u kreuz v=n

u(1/-1/2)

v(3/4/-1)

Mit meinem Garphikrechner (GTR,Casio)

n(-7/7/7)  dividiert durch 7

n(-1/1/1)

Betrag |n|=Wurzel((-1)^1+1²+1²)=Wurzel(3)=1,73205..

nox=-1/Wurzel(3)

noy=1/Wurzel(3)

noz=1/Wurzel(3)

eingesetzt in die Abstandsformel

d=|(6/7/-9)-(-2/1/4)*(nox/noy/noz)|

|(*nox+7*noy+(-9)*noz)-((-2)*nox+1*noy+4*noz)|

Werte für nox,noy und noz einsetzen und ausrechen,dass schaffst du selber

2.te Möglichkeit über das Lotfußpunktverfahren

1)  die Ebenengleichnung in die Normalengleichung der Ebene umwandeln

E: (x-a)*n=0

n(-1/1/1)

Die Lotgerade berechnen g: x=p+r*n  → x=(6/7/-9)+r*(-1/1/1)

2) in die Ebenengleichung eingesetzt ergibt das den Schnittpunkt mit der Ebene,nennt man Fußpunkt

3) Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²

P(x1/y1/z1)=(6/7/-9)

P2(x2/y2/z2) ist der Schnittpunkt (Fußpunkt) Gerade/Ebene