Beweis orthogonale Abbildung und Eigenwert

Question

Aufgabe:

Sei V ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt < , >. Zu einem Vektor v ∈ V
sei die Norm ||v|| wie üblich mit Hilfe des Skalarproduktes definiert. ¨
a) Zeigen Sie: Ist f : V → V eine orthogonale Abbildung, dann gilt für alle v ∈ V die
Gleichung ||f(v)|| = ||v||
b) Zeigen Sie: Ist f : V → V eine lineare Abbildung mit einem Eigenwert 2, dann kann
f keine orthogonale Abbildung sein

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist:

Reicht bei a einfach ||v||= \( \sqrt{<v,v>} \)=\( \sqrt{<f(v),f(v)>} \)=||f(v)|| ?

Bei der b habe ich leider keine Ahnung wie das funktioniert. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Bei a) reicht das wohl.

Und bei b) bedenke:  Ist f eine linear Abbildung mit Eigenwert 2,

dann gibt es ein v mit f(v) = 2*v, also auch

||f(v)|| = 2* ||v|| und das würde dem in a) bewiesenen widersprechen,

wenn f orthogonal wäre.