Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind

Question

Aufgabe:

(3) Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind.

(a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{4}}{e^{k}} \)

Answer 1

Die Reihe konvergiert:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%5E4%2Fe%5Ek+from+1+to+infinite

Answer 2

Aloha :)

Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe$$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\quad;\quad a_k=\frac{k^4}{e^k}$$mit Hilfe des Quotientenkriteriums:$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\frac{(k+1)^4}{e^{k+1}}}{\frac{k^4}{e^k}}=\frac{(k+1)^4}{e^{k+1}}\cdot\frac{e^k}{k^4}=\frac{(k+1)^4}{k^4}\cdot\frac{e^k}{e^{k+1}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^4\cdot\frac{1}{e}$$Daher gilt:$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{e}<1$$Das Quotientenkriterium wird erfüllt, also konvergiert die Reihe.